Análisis de los principios de Binius STARKs y reflexiones sobre su optimización

1 Introducción

Una de las principales razones de la ineficiencia de STARKs es que la mayoría de los valores en los programas reales son bastante pequeños, como los índices en los bucles for, valores booleanos, contadores, etc. Sin embargo, para garantizar la seguridad de las pruebas basadas en el árbol de Merkle, al expandir los datos utilizando la codificación Reed-Solomon, muchos valores redundantes adicionales ocuparán todo el dominio, incluso si el valor original en sí es muy pequeño. Para resolver este problema, reducir el tamaño del dominio se ha convertido en una estrategia clave.

La primera generación de STARKs tiene un ancho de codificación de 252 bits, la segunda generación de STARKs tiene un ancho de codificación de 64 bits, y la tercera generación de STARKs tiene un ancho de codificación de 32 bits, pero el ancho de codificación de 32 bits todavía presenta una gran cantidad de espacio desperdiciado. En comparación, el dominio binario permite operar directamente sobre los bits, con una codificación compacta y eficiente sin ningún espacio desperdiciado, es decir, la cuarta generación de STARKs.

En comparación con los campos finitos descubiertos en investigaciones recientes como Goldilocks, BabyBear y Mersenne31, la investigación sobre campos binarios se remonta a la década de 1980. Actualmente, los campos binarios se utilizan ampliamente en criptografía, ejemplos típicos incluyen:

• Estándar de cifrado avanzado ( AES ), basado en el campo F28;

• Galois Código de Autenticación de Mensajes ( GMAC ), basado en el campo F2128;

• Código QR, utilizando codificación Reed-Solomon basada en F28;

• Protocolo FRI original y zk-STARK, así como la función hash Grøstl, que llegó a la final de SHA-3, basada en el campo F28, es un algoritmo de hash muy adecuado para la recursión.

Cuando se utilizan campos más pequeños, la operación de extensión de campos se vuelve cada vez más importante para garantizar la seguridad. El campo binario utilizado por Binius depende completamente de la extensión de campos para garantizar su seguridad y viabilidad práctica. La mayoría de los polinomios involucrados en los cálculos de Prover no necesitan entrar en la extensión de campos, sino que solo operan en el campo base, logrando así una alta eficiencia en campos pequeños. Sin embargo, la verificación de puntos aleatorios y el cálculo de FRI aún deben profundizarse en un campo extendido más grande para garantizar la seguridad requerida.

Al construir un sistema de pruebas basado en campos binarios, existen 2 problemas prácticos: al calcular la representación del rastro en STARKs, el tamaño del campo utilizado debe ser mayor que el grado del polinomio; al comprometer el árbol de Merkle en STARKs, se debe realizar la codificación de Reed-Solomon, y el tamaño del campo utilizado debe ser mayor que el tamaño después de la expansión de la codificación.

Binius propuso una solución innovadora que aborda estos dos problemas por separado y representa los mismos datos de dos maneras diferentes: primero, utilizando polinomios multivariables (específicamente polinomios multilineales) en lugar de polinomios univariables, representando toda la trayectoria de cálculo a través de sus valores en "hipercubos" (hypercubes); en segundo lugar, dado que la longitud de cada dimensión del hipercubo es 2, no se puede realizar una extensión estándar de Reed-Solomon como en STARKs, pero se puede considerar el hipercubo como un cuadrado (square) y realizar la extensión de Reed-Solomon basada en ese cuadrado. Este método, al tiempo que garantiza la seguridad, mejora enormemente la eficiencia de codificación y el rendimiento computacional.

2 Análisis de principios

La construcción de la mayoría de los sistemas SNARKs actualmente suele incluir las siguientes dos partes:

• Prueba de Oracle Interactiva Polinómica de Teoría de la Información (Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP): PIOP, como núcleo del sistema de prueba, transforma las relaciones computacionales de entrada en igualdades polinómicas verificables. Diferentes protocolos PIOP permiten al probador enviar polinomios de forma gradual a través de la interacción con el validador, de modo que el validador puede verificar si el cálculo es correcto consultando los resultados de evaluación de unos pocos polinomios. Los protocolos PIOP existentes incluyen: PIOP PLONK, PIOP Spartan y PIOP HyperPlonk, entre otros, los cuales manejan las expresiones polinómicas de manera diferente, afectando así el rendimiento y la eficiencia de todo el sistema SNARK.

• Esquema de Compromiso Polinómico (Polynomial Commitment Scheme, PCS): El esquema de compromiso polinómico se utiliza para demostrar si se cumple la igualdad polinómica generada por PIOP. El PCS es una herramienta criptográfica que permite al que prueba comprometerse a un polinomio y luego verificar el resultado de la evaluación de ese polinomio, al mismo tiempo que oculta otra información sobre el polinomio. Los esquemas de compromiso polinómico comunes incluyen KZG, Bulletproofs, FRI (Fast Reed-Solomon IOPP) y Brakedown, entre otros. Diferentes PCS tienen diferentes rendimientos, seguridad y escenarios de aplicación.

Según las necesidades específicas, elija diferentes PIOP y PCS, y combine un campo finito o una curva elíptica adecuada, se puede construir un sistema de pruebas con diferentes atributos. Por ejemplo:

• Halo2: combina PLONK PIOP y Bulletproofs PCS, y está basado en la curva Pasta. Al diseñar Halo2, se presta atención a la escalabilidad y se elimina la configuración confiable del protocolo ZCash.

• Plonky2: combina PLONK PIOP con FRI PCS y se basa en el dominio de Goldilocks. Plonky2 está diseñado para lograr una recursividad eficiente. Al diseñar estos sistemas, la PIOP y la PCS elegidas deben coincidir con el campo finito o la curva elíptica utilizada, para garantizar la corrección, el rendimiento y la seguridad del sistema. La elección de estas combinaciones no solo afecta el tamaño de la prueba SNARK y la eficiencia de la verificación, sino que también determina si el sistema puede lograr transparencia sin la necesidad de configuraciones de confianza, y si puede soportar funciones extendidas como pruebas recursivas o pruebas agregadas.

Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + dominio binario. En concreto, Binius incluye cinco tecnologías clave para lograr su eficiencia y seguridad. Primero, la aritmética basada en dominios binarios en torres (towers of binary fields) constituye la base de su cálculo, lo que permite realizar operaciones simplificadas en el dominio binario. En segundo lugar, Binius adapta la verificación de productos y permutaciones de HyperPlonk en su protocolo de prueba de Oracle interactivo (PIOP), asegurando una verificación de consistencia segura y eficiente entre las variables y sus permutaciones. Tercero, el protocolo introduce una nueva prueba de desplazamiento multilineal, optimizando la eficiencia de la validación de relaciones multilineales en dominios pequeños. Cuarto, Binius utiliza una versión mejorada de la prueba de búsqueda Lasso, proporcionando flexibilidad y una fuerte seguridad al mecanismo de búsqueda. Finalmente, el protocolo emplea un esquema de compromiso polinómico de campo pequeño (Small-Field PCS), permitiendo la implementación de un sistema de prueba eficiente en el dominio binario y reduciendo los costos generalmente asociados con dominios grandes.

2.1 Campos finitos: aritmética basada en torres de campos binarios

Los campos binarios en torre son clave para implementar cálculos rápidos y verificables, principalmente debido a dos aspectos: cálculo eficiente y aritmética eficiente. Los campos binarios, en esencia, permiten operaciones aritméticas altamente eficientes, lo que los convierte en una elección ideal para aplicaciones criptográficas sensibles a los requisitos de rendimiento. Además, la estructura del campo binario apoya un proceso de aritmética simplificado, es decir, las operaciones realizadas sobre el campo binario pueden representarse en formas algebraicas compactas y fáciles de verificar. Estas características, junto con la capacidad de aprovechar completamente su naturaleza jerárquica a través de la estructura de torre, hacen que los campos binarios sean especialmente adecuados para sistemas de prueba escalables como Binius.

El término "canónico" se refiere a la representación única y directa de un elemento en el campo binario. Por ejemplo, en el campo binario más básico F2, cualquier cadena de k bits se puede mapear directamente a un elemento del campo binario de k bits. Esto es diferente del campo primo, que no puede proporcionar esta representación canónica dentro de un número fijo de bits. Aunque un campo primo de 32 bits puede ser contenido en 32 bits, no todas las cadenas de 32 bits pueden corresponder de manera única a un elemento del campo, mientras que el campo binario tiene esta conveniencia de mapeo uno a uno. En el campo primo Fp, los métodos de reducción comunes incluyen la reducción de Barrett, la reducción de Montgomery, y métodos de reducción especiales para campos finitos específicos como Mersenne-31 o Goldilocks-64. En el campo binario F2k, los métodos de reducción comunes incluyen la reducción especial (como se usa en AES), la reducción de Montgomery (como se usa en POLYVAL) y la reducción recursiva (como Tower). El artículo "Exploring the Design Space of Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations" señala que en el campo binario no es necesario introducir acarreo en las operaciones de suma y multiplicación, y que la operación de cuadrado en el campo binario es muy eficiente, ya que sigue la regla simplificada de (X + Y )2 = X2 + Y 2.

Como se muestra en la Figura 1, una cadena de 128 bits: esta cadena puede interpretarse de varias maneras en el contexto del campo binario. Puede considerarse un elemento único en un campo binario de 128 bits, o puede descomponerse en dos elementos de campo de torre de 64 bits, cuatro elementos de campo de torre de 32 bits, 16 elementos de campo de torre de 8 bits, o 128 elementos de campo F2. Esta flexibilidad de representación no requiere ningún costo computacional, solo un cambio de tipo (typecast) de la cadena de bits, lo que es una propiedad muy interesante y útil. Al mismo tiempo, los elementos de campo pequeños pueden empaquetarse en elementos de campo más grandes sin necesidad de un costo computacional adicional. El protocolo Binius aprovecha esta característica para mejorar la eficiencia computacional. Además, el documento "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" explora la complejidad computacional de las operaciones de multiplicación, cuadrado e inversión en un campo binario de torre de n bits (que se puede descomponer en subcampos de m bits).

2.2 PIOP: versión adaptada de HyperPlonk Product y PermutationCheck------aplicable a campos binarios

El diseño de PIOP en el protocolo Binius se basa en HyperPlonk, utilizando una serie de mecanismos de verificación centrales para validar la corrección de polinomios y conjuntos de múltiples variables. Estas verificaciones centrales incluyen:

1. GateCheck: Verifica si el testigo secreto ω y la entrada pública x cumplen con la relación de operación del circuito C(x,ω)=0, para asegurar que el circuito funcione correctamente.

2. PermutationCheck: Verifica si los resultados de evaluación de los dos polinomios multivariables f y g en el hipercubo booleano son una relación de permutación f(x) = f(π(x)), para garantizar la consistencia en la permutación de las variables del polinomio.

3. LookupCheck: Verifica si la evaluación del polinomio está en la tabla de búsqueda dada, es decir, f(Bµ) ⊆ T(Bµ), asegurando que ciertos valores estén dentro del rango especificado.

4. MultisetCheck: Verifica si dos conjuntos multivariables son iguales, es decir, {(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H, garantizando la coherencia entre múltiples conjuntos.

5. ProductCheck: Verifica si la evaluación de un polinomio racional en el hipercubo booleano es igual a un valor declarado ∏x∈Hµ f(x) = s, para asegurar la corrección del producto polinómico.

6. ZeroCheck: Verificar si un polinomio multivariable en el hipercubo booleano es cero en cualquier punto ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, para asegurar la distribución de los ceros del polinomio.

7. SumCheck: Verifica si la suma de un polinomio multivariable es igual al valor declarado ∑x∈Hµ f(x) = s. Al transformar el problema de evaluación de un polinomio multivariable en uno de evaluación de un polinomio univariable, se reduce la complejidad computacional para el verificador. Además, SumCheck permite el procesamiento por lotes al introducir números aleatorios y construir combinaciones lineales para realizar el procesamiento de múltiples instancias de verificación de sumas.

8. BatchCheck: basado en SumCheck, verifica la corrección de la evaluación de múltiples polinomios multivariables para mejorar la eficiencia del protocolo.

A pesar de que Binius y HyperPlonk tienen muchas similitudes en el diseño del protocolo, Binius ha realizado mejoras en los siguientes 3 aspectos:

• Optimización de ProductCheck: en HyperPlonk, ProductCheck requiere que el denominador U sea distinto de cero en el hipercubo y que el producto debe ser igual a un valor específico; Binius simplifica este proceso de verificación al especializar ese valor a 1, reduciendo así la complejidad computacional.

• Manejo del problema de división por cero: HyperPlonk no logró manejar adecuadamente los casos de división por cero, lo que impide afirmar que U es distinto de cero en el hipercubo; Binius manejó correctamente este problema, ya que incluso en el caso de que el denominador sea cero, el ProductCheck de Binius puede continuar procesando, lo que permite la generalización a cualquier valor de producto.

• Comprobación de Permutación entre columnas: HyperPlonk no tiene esta función; Binius admite la comprobación de permutación entre múltiples columnas, lo que permite a Binius manejar situaciones de disposición polinómica más complejas.

Por lo tanto, Binius ha mejorado el mecanismo existente de PIOPSumCheck, aumentando la flexibilidad y eficiencia del protocolo, especialmente al manejar la verificación de polinomios multivariables más complejos, proporcionando un soporte funcional más fuerte. Estas mejoras no solo abordan las limitaciones de HyperPlonk, sino que también sientan las bases para futuros sistemas de prueba basados en dominios binarios.

2.3 PIOP: nuevo argumento de desplazamiento multilineal ------ aplicable al hipercubo booleano

En el protocolo Binius, la construcción y el manejo de polinomios virtuales es una de las tecnologías clave, capaz de generar y operar de manera efectiva los polinomios derivados de un manejador de entrada u otros polinomios virtuales. A continuación, se presentan dos métodos clave:

• Empaque: Este método optimiza la operación empaquetando los elementos más pequeños en posiciones adyacentes del orden diccionario en elementos más grandes. El operador Pack se aplica a bloques de tamaño 2κ y los transforma.