Analyse des principes des STARKs de Binius et réflexion sur leurs optimisations

1 Introduction

Une des principales raisons de l'inefficacité des STARKs est que la plupart des valeurs dans les programmes réels sont relativement petites, comme les index dans les boucles for, les valeurs booléennes, les compteurs, etc. Cependant, pour garantir la sécurité des preuves basées sur les arbres de Merkle, l'utilisation du codage de Reed-Solomon pour étendre les données entraîne l'occupation de nombreux valeurs redondantes supplémentaires dans tout le domaine, même si la valeur originale elle-même est très petite. Pour résoudre ce problème, réduire la taille du domaine est devenu une stratégie clé.

La largeur de codage des STARKs de première génération est de 252 bits, celle des STARKs de deuxième génération est de 64 bits et celle des STARKs de troisième génération est de 32 bits, mais la largeur de codage de 32 bits présente encore un grand espace gaspillé. En comparaison, le domaine binaire permet des opérations directes sur les bits, le codage est compact et efficace sans aucun espace gaspillé, c'est-à-dire les STARKs de quatrième génération.

Comparé aux découvertes récentes sur les corps finis comme Goldilocks, BabyBear, Mersenne31, la recherche sur les corps binaires remonte aux années 1980. Actuellement, les corps binaires sont largement utilisés en cryptographie, des exemples typiques incluent :

• Standard de chiffrement avancé ( AES ), basé sur le domaine F28 ;

• Galois Message Authentication Code ( GMAC ), basé sur le domaine F2128 ;

• QR code, utilisant le codage Reed-Solomon basé sur F28 ;

• Protocole FRI d'origine et zk-STARK, ainsi que la fonction de hachage Grøstl qui a atteint la finale du SHA-3, cette fonction basée sur le domaine F28 est un algorithme de hachage très adapté à la récursion.

Lors de l'utilisation de domaines plus petits, l'opération d'extension de domaine devient de plus en plus importante pour garantir la sécurité. Le domaine binaire utilisé par Binius doit entièrement dépendre de l'extension de domaine pour assurer sa sécurité et sa praticité. La plupart des polynômes impliqués dans les calculs de Prover n'ont pas besoin d'entrer dans l'extension de domaine, mais peuvent fonctionner uniquement dans le domaine de base, réalisant ainsi une grande efficacité dans le petit domaine. Cependant, les vérifications de points aléatoires et les calculs FRI doivent encore plonger dans un domaine d'extension plus grand pour garantir la sécurité requise.

Lors de la construction d'un système de preuve basé sur un domaine binaire, il existe 2 problèmes pratiques : lors du calcul de la représentation de la trace dans les STARKs, la taille du domaine utilisé doit être supérieure au degré du polynôme ; lors de l'engagement de l'arbre de Merkle dans les STARKs, un codage de Reed-Solomon doit être effectué, et la taille du domaine utilisé doit être supérieure à la taille après extension du codage.

Binius a proposé une solution innovante qui traite ces deux problèmes séparément et représente les mêmes données de deux manières différentes : d'abord, en utilisant un polynôme multivariable (plus précisément un polynôme multilinéraire) au lieu d'un polynôme à une seule variable, en représentant l'ensemble de la trajectoire de calcul par ses valeurs dans des "hypercubes" ; ensuite, comme chaque dimension de l'hypercube a une longueur de 2, il n'est pas possible d'effectuer une extension standard de Reed-Solomon comme avec les STARKs, mais on peut considérer l'hypercube comme un carré et effectuer une extension de Reed-Solomon basée sur ce carré. Cette méthode améliore considérablement l'efficacité de codage et les performances de calcul tout en garantissant la sécurité.

2 Analyse des principes

La construction de la plupart des systèmes SNARKs actuellement comprend généralement deux parties :

• Preuve d'oracle interactif polynomial d'information théorique (Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP) : Le PIOP, en tant que noyau du système de preuve, transforme les relations de calcul d'entrée en égalités polynomiales vérifiables. Différents protocoles PIOP, grâce à l'interaction avec le vérificateur, permettent au prouveur d'envoyer progressivement des polynômes, de sorte que le vérificateur puisse vérifier si le calcul est correct en interrogeant un petit nombre de résultats d'évaluation de polynômes. Les protocoles PIOP existants incluent : PLONK PIOP, Spartan PIOP et HyperPlonk PIOP, qui traitent chacun les expressions polynomiales de manière différente, influençant ainsi la performance et l'efficacité de l'ensemble du système SNARK.

• Schéma d'engagement polynomial (Polynomial Commitment Scheme, PCS) : Le schéma d'engagement polynomial est utilisé pour prouver si l'égalité polynomiale générée par PIOP est valide. Le PCS est un outil cryptographique qui permet à un prouveur de s'engager sur un polynôme et de vérifier ultérieurement le résultat de l'évaluation de ce polynôme, tout en cachant d'autres informations sur le polynôme. Les schémas d'engagement polynomial courants incluent KZG, Bulletproofs, FRI (Fast Reed-Solomon IOPP) et Brakedown, entre autres. Différents PCS ont des performances, des niveaux de sécurité et des cas d'utilisation différents.

Selon les besoins spécifiques, choisissez différents PIOP et PCS, et combinez-les avec un domaine fini ou une courbe elliptique appropriée, afin de construire des systèmes de preuve ayant différentes propriétés. Par exemple :

• Halo2 : combinant PLONK PIOP et Bulletproofs PCS, et basé sur la courbe Pasta. Halo2 est conçu en mettant l'accent sur l'évolutivité et l'élimination de la configuration de confiance dans le protocole ZCash.

• Plonky2 : utilise PLONK PIOP associé à FRI PCS et est basé sur le domaine de Goldilocks. Plonky2 est conçu pour réaliser une récursion efficace. Lors de la conception de ces systèmes, le PIOP et le PCS choisis doivent correspondre au champ fini ou à la courbe elliptique utilisés, afin d'assurer la correctitude, la performance et la sécurité du système. Le choix de ces combinaisons affecte non seulement la taille des preuves SNARK et l'efficacité de validation, mais détermine également si le système peut atteindre la transparence sans avoir besoin d'une configuration de confiance préalable, et s'il peut prendre en charge des fonctionnalités d'extension telles que les preuves récursives ou les preuves agrégées.

Binius : HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + domaines binaires. Plus précisément, Binius comprend cinq technologies clés pour réaliser son efficacité et sa sécurité. Tout d'abord, l'arithmétique basée sur les tours de domaines binaires constitue la base de ses calculs, permettant de réaliser des opérations simplifiées dans les domaines binaires. Deuxièmement, Binius a adapté la vérification de produit et de permutation de HyperPlonk dans son protocole de preuve oracle interactive (PIOP), garantissant une vérification de cohérence sécurisée et efficace entre les variables et leurs permutations. Troisièmement, le protocole introduit une nouvelle preuve de décalage multilinéraire, optimisant l'efficacité de la vérification des relations multilinéaires sur de petits domaines. Quatrièmement, Binius utilise une version améliorée de la preuve de recherche Lasso, offrant flexibilité et sécurité robuste au mécanisme de recherche. Enfin, le protocole utilise un schéma d'engagement de polynômes de petits domaines (Small-Field PCS), lui permettant de réaliser un système de preuve efficace dans les domaines binaires et réduisant les frais généralement associés aux grands domaines.

2.1 Domain limité : arithmétique basée sur les tours de champs binaires

Le domaine binaire en tour est la clé pour réaliser des calculs vérifiables rapides, principalement en raison de deux aspects : le calcul efficace et l'arithmétique efficace. Le domaine binaire supporte essentiellement des opérations arithmétiques hautement efficaces, ce qui en fait un choix idéal pour les applications cryptographiques sensibles aux performances. De plus, la structure du domaine binaire supporte un processus d'arithmétisation simplifié, c'est-à-dire que les opérations effectuées sur le domaine binaire peuvent être représentées sous une forme algébrique compacte et facile à vérifier. Ces caractéristiques, associées à la capacité d'exploiter pleinement ses caractéristiques hiérarchiques grâce à la structure en tour, rendent le domaine binaire particulièrement adapté à des systèmes de preuve évolutifs tels que Binius.

Le terme "canonical" fait référence à la représentation unique et directe d'un élément dans le domaine binaire. Par exemple, dans le domaine binaire de base F2, toute chaîne de k bits peut être directement mappée à un élément du domaine binaire de k bits. Cela diffère des domaines premiers, qui ne peuvent pas fournir cette représentation canonique dans un nombre de bits donné. Bien qu'un domaine premier de 32 bits puisse être contenu dans 32 bits, ce n'est pas le cas pour chaque chaîne de 32 bits qui peut correspondre de manière unique à un élément de domaine, tandis que le domaine binaire offre cette commodité de correspondance un à un. Dans le domaine premier Fp, les méthodes de réduction courantes incluent la réduction de Barrett, la réduction de Montgomery, ainsi que des méthodes de réduction spéciales pour des domaines finis spécifiques comme Mersenne-31 ou Goldilocks-64. Dans le domaine binaire F2k, les méthodes de réduction courantes incluent la réduction spéciale (comme utilisée dans AES), la réduction de Montgomery (comme utilisée dans POLYVAL) et la réduction récursive (comme Tower). L'article "Exploring the Design Space of Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations" souligne que le domaine binaire n'introduit pas de retenue dans les opérations d'addition et de multiplication, et que l'opération de carré dans le domaine binaire est très efficace, car elle suit la règle simplifiée (X + Y )2 = X2 + Y 2.

Comme illustré dans la figure 1, une chaîne de 128 bits : cette chaîne peut être interprétée de plusieurs manières dans le contexte des domaines binaires. Elle peut être considérée comme un élément unique dans un domaine binaire de 128 bits, ou être décomposée en deux éléments de domaine de tour de 64 bits, quatre éléments de domaine de tour de 32 bits, 16 éléments de domaine de tour de 8 bits, ou 128 éléments de domaine F2. Cette flexibilité de représentation ne nécessite aucun coût de calcul, il s'agit simplement d'une conversion de type de chaîne de bits, ce qui est une propriété très intéressante et utile. De plus, les éléments de petit domaine peuvent être emballés en éléments de domaine plus grands sans coût de calcul supplémentaire. Le protocole Binius tire parti de cette caractéristique pour améliorer l'efficacité des calculs. En outre, le document "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" examine la complexité de calcul des opérations de multiplication, de mise au carré et d'inversion dans un domaine binaire de tour de n bits (décomposable en sous-domaines de m bits).

2.2 PIOP : version adaptée de HyperPlonk Product et PermutationCheck ------ applicable au domaine binaire

La conception de PIOP dans le protocole Binius s'inspire de HyperPlonk et utilise une série de mécanismes de vérification fondamentaux pour valider la correction des polynômes et des ensembles multivariés. Ces vérifications fondamentales comprennent :

1. GateCheck : Vérifiez si le témoignage confidentiel ω et l'entrée publique x satisfont la relation de calcul du circuit C(x,ω)=0, afin de garantir le bon fonctionnement du circuit.

2. PermutationCheck : vérifier si les résultats d'évaluation de deux polynômes multivariés f et g sur l'hypercube booléen sont une relation de permutation f(x) = f(π(x)), afin d'assurer la cohérence des permutations entre les variables du polynôme.

3. LookupCheck : vérifie si l'évaluation du polynôme se trouve dans la table de recherche donnée, c'est-à-dire f(Bµ) ⊆ T(Bµ), assurant que certaines valeurs se situent dans la plage spécifiée.

4. MultisetCheck : Vérifie si deux ensembles multivariés sont égaux, c'est-à-dire {(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H, garantissant la cohérence entre plusieurs ensembles.

5. ProductCheck : Vérifiez si l'évaluation d'un polynôme à coefficients rationnels sur le cube hyperbolique booléen est égale à une valeur déclarée ∏x∈Hµ f(x) = s, afin de garantir la justesse du produit polynômial.

6. ZeroCheck : vérifier si un polynôme multivariable est nul en un point quelconque du cube hyperbolique booléen ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, afin de garantir la distribution des zéros du polynôme.

7. SumCheck : vérifie si la somme d'un polynôme multivarié est égale à la valeur déclarée ∑x∈Hµ f(x) = s. En transformant le problème d'évaluation du polynôme multivarié en évaluation d'un polynôme à une variable, cela réduit la complexité computationnelle pour le vérificateur. De plus, SumCheck permet le traitement par lots en introduisant des nombres aléatoires pour construire des combinaisons linéaires afin de réaliser le traitement par lots de plusieurs instances de vérification de somme.

8. BatchCheck : basé sur SumCheck, vérifie l'exactitude de l'évaluation de plusieurs polynômes multivariés afin d'améliorer l'efficacité du protocole.

Bien que Binius et HyperPlonk présentent de nombreuses similitudes dans la conception des protocoles, Binius apporte des améliorations dans les 3 domaines suivants :

• Optimisation de ProductCheck : dans HyperPlonk, ProductCheck exige que le dénominateur U soit non nul partout sur l'hypercube, et que le produit soit égal à une valeur spécifique ; Binius simplifie ce processus de vérification en spécialisant cette valeur à 1, réduisant ainsi la complexité de calcul.

• Gestion du problème de division par zéro : HyperPlonk n'a pas réussi à gérer correctement les cas de division par zéro, ce qui empêche d'affirmer que U est non nul sur l'hypercube ; Binius a correctement traité ce problème, même lorsque le dénominateur est nul, le ProductCheck de Binius peut continuer à fonctionner, permettant une généralisation à toute valeur de produit.

• Vérification de permutation inter-colonnes : HyperPlonk n'a pas cette fonctionnalité ; Binius prend en charge la vérification de permutation entre plusieurs colonnes, ce qui permet à Binius de gérer des cas d'arrangement de polynômes plus complexes.

Ainsi, Binius a amélioré la flexibilité et l'efficacité du protocole grâce à une amélioration du mécanisme existant PIOPSumCheck, offrant un meilleur support fonctionnel, notamment lors du traitement de validations de polynômes multivariables plus complexes. Ces améliorations non seulement résolvent les limitations de HyperPlonk, mais posent également les bases pour les systèmes de preuve basés sur des domaines binaires à l'avenir.

2.3 PIOP : nouvel argument de décalage multilinéraire ------ applicable au cube hyperbolique booléen

Dans le protocole Binius, la construction et le traitement des polynômes virtuels sont l'une des technologies clés, permettant de générer et d'opérer efficacement des polynômes dérivés de poignées d'entrée ou d'autres polynômes virtuels. Voici deux méthodes clés :

• Emballage : Cette méthode optimise l'opération en regroupant les éléments plus petits adjacents en positions dans l'ordre lexicographique en éléments plus grands. L'opérateur Pack s'applique à des blocs de taille 2κ et les regroupe.