Phân tích nguyên lý STARKs Binius và những suy nghĩ tối ưu hóa

1 Giới thiệu

Một trong những lý do chính khiến STARKs kém hiệu quả là hầu hết các giá trị trong chương trình thực tế đều nhỏ, chẳng hạn như chỉ số trong vòng lặp for, giá trị đúng sai, bộ đếm, v.v. Tuy nhiên, để đảm bảo tính an toàn của chứng minh dựa trên cây Merkle, khi sử dụng mã hóa Reed-Solomon để mở rộng dữ liệu, nhiều giá trị dư thừa bổ sung sẽ chiếm toàn bộ miền, ngay cả khi giá trị gốc rất nhỏ. Để giải quyết vấn đề này, việc giảm kích thước miền trở thành chiến lược then chốt.

Độ rộng mã hóa STARKs thế hệ thứ 1 là 252 bit, độ rộng mã hóa STARKs thế hệ thứ 2 là 64 bit, độ rộng mã hóa STARKs thế hệ thứ 3 là 32 bit, nhưng độ rộng mã hóa 32 bit vẫn có nhiều không gian lãng phí. So với điều đó, miền nhị phân cho phép thao tác trực tiếp trên các bit, mã hóa chặt chẽ và hiệu quả mà không có không gian lãng phí nào, tức là STARKs thế hệ thứ 4.

So với Goldilocks, BabyBear, Mersenne31 và một số phát hiện nghiên cứu gần đây về trường hữu hạn, nghiên cứu về trường nhị phân có thể truy ngược về thập kỷ 80 của thế kỷ trước. Hiện nay, trường nhị phân đã được ứng dụng rộng rãi trong mật mã, ví dụ điển hình bao gồm:

• Tiêu chuẩn mã hóa nâng cao (AES), dựa trên miền F28;

• Mã xác thực tin nhắn Galois ( GMAC ), dựa trên miền F2128;

• Mã QR, sử dụng mã Reed-Solomon dựa trên F28;

• Giao thức FRI gốc và zk-STARK, cùng với hàm băm Grøstl đã vào vòng chung kết SHA-3, hàm băm này dựa trên miền F28, là một thuật toán băm rất phù hợp cho đệ quy.

Khi sử dụng miền nhỏ hơn, thao tác mở rộng miền trở nên ngày càng quan trọng để đảm bảo tính an toàn. Miền nhị phân mà Binius sử dụng hoàn toàn phụ thuộc vào việc mở rộng miền để đảm bảo tính an toàn và khả năng sử dụng thực tế. Hầu hết các đa thức liên quan trong tính toán Prover không cần phải vào miền mở rộng, mà chỉ cần hoạt động trong miền cơ sở, từ đó đạt được hiệu quả cao trong miền nhỏ. Tuy nhiên, việc kiểm tra điểm ngẫu nhiên và tính toán FRI vẫn cần phải đi sâu vào miền mở rộng lớn hơn để đảm bảo tính an toàn cần thiết.

Khi xây dựng hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân, có 2 vấn đề thực tiễn: Khi tính toán trace trong STARKs, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn bậc của đa thức; Khi cam kết Merkle tree trong STARKs, cần thực hiện mã hóa Reed-Solomon, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn kích thước sau khi mở rộng mã.

Binius đã đề xuất một giải pháp sáng tạo để xử lý hai vấn đề này, và thực hiện điều đó bằng cách biểu diễn cùng một dữ liệu theo hai cách khác nhau: đầu tiên, sử dụng đa thức đa biến (cụ thể là đa thức đa tuyến) thay cho đa thức đơn biến, thông qua giá trị của nó trên "siêu khối" (hypercubes) để biểu diễn toàn bộ quỹ đạo tính toán; thứ hai, do chiều dài của mỗi chiều trong siêu khối đều là 2, nên không thể thực hiện mở rộng Reed-Solomon chuẩn như STARKs, nhưng có thể coi siêu khối như một hình vuông (square), và dựa trên hình vuông đó để thực hiện mở rộng Reed-Solomon. Phương pháp này đảm bảo an toàn trong khi nâng cao hiệu quả mã hóa và hiệu suất tính toán.

2 Phân tích nguyên lý

Hiện tại, hầu hết các hệ thống SNARKs được xây dựng thường bao gồm hai phần sau:

• Chứng minh Oracle tương tác đa thức lý thuyết thông tin (Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP): PIOP là cốt lõi của hệ thống chứng minh, chuyển đổi các mối quan hệ tính toán đầu vào thành các phương trình đa thức có thể xác minh. Các giao thức PIOP khác nhau cho phép người chứng minh lần lượt gửi các đa thức thông qua tương tác với người xác minh, giúp người xác minh có thể xác minh xem tính toán có đúng hay không chỉ bằng cách truy vấn một lượng nhỏ kết quả đánh giá của các đa thức. Các giao thức PIOP hiện có bao gồm: PLONK PIOP, Spartan PIOP và HyperPlonk PIOP, mỗi cái có cách xử lý biểu thức đa thức khác nhau, từ đó ảnh hưởng đến hiệu suất và hiệu quả của toàn bộ hệ thống SNARK.

• Chương trình cam kết đa thức (Polynomial Commitment Scheme, PCS): Chương trình cam kết đa thức được sử dụng để chứng minh xem phương trình đa thức được sinh ra bởi PIOP có hợp lệ hay không. PCS là một công cụ mật mã, thông qua đó, người chứng minh có thể cam kết một đa thức và sau đó xác minh kết quả đánh giá của đa thức đó, đồng thời ẩn đi các thông tin khác của đa thức. Các chương trình cam kết đa thức phổ biến có KZG, Bulletproofs, FRI (Fast Reed-Solomon IOPP) và Brakedown. Các PCS khác nhau có hiệu suất, độ an toàn và ứng dụng khác nhau.

Dựa trên nhu cầu cụ thể, chọn các PIOP và PCS khác nhau, và kết hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong elliptic phù hợp, có thể xây dựng các hệ thống chứng minh với các thuộc tính khác nhau. Ví dụ:

• Halo2: Kết hợp giữa PLONK PIOP và Bulletproofs PCS, dựa trên đường cong Pasta. Khi thiết kế Halo2, chú trọng đến khả năng mở rộng và loại bỏ thiết lập tin cậy trong giao thức ZCash.

• Plonky2: Kết hợp PLONK PIOP và FRI PCS, dựa trên miền Goldilocks. Plonky2 được thiết kế để đạt được tính đệ quy hiệu quả. Khi thiết kế các hệ thống này, PIOP và PCS được chọn phải phù hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong elip đang sử dụng, để đảm bảo tính chính xác, hiệu suất và độ an toàn của hệ thống. Sự lựa chọn của các tổ hợp này không chỉ ảnh hưởng đến kích thước chứng minh SNARK và hiệu quả xác minh, mà còn quyết định xem hệ thống có thể đạt được tính minh bạch mà không cần thiết lập tin cậy hay không, và có thể hỗ trợ các chức năng mở rộng như chứng minh đệ quy hoặc chứng minh tổng hợp hay không.

Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + miền nhị phân. Cụ thể, Binius bao gồm năm công nghệ then chốt để đạt được hiệu quả và an toàn. Đầu tiên, dựa trên cấu trúc số học miền nhị phân dạng tháp (towers of binary fields) tạo thành nền tảng cho tính toán của nó, có khả năng thực hiện các phép toán đơn giản trong miền nhị phân. Thứ hai, Binius đã điều chỉnh kiểm chứng tích và hoán vị HyperPlonk trong giao thức chứng minh Oracle tương tác (PIOP) của nó, đảm bảo kiểm tra tính nhất quán an toàn và hiệu quả giữa các biến và sự hoán vị của chúng. Thứ ba, giao thức đã giới thiệu một chứng minh dịch chuyển đa tuyến mới, tối ưu hóa hiệu suất xác minh mối quan hệ đa tuyến trên miền nhỏ. Thứ tư, Binius đã sử dụng phiên bản cải tiến của chứng minh tìm kiếm Lasso, cung cấp tính linh hoạt và độ an toàn mạnh mẽ cho cơ chế tìm kiếm. Cuối cùng, giao thức đã sử dụng kế hoạch cam kết đa thức miền nhỏ (Small-Field PCS), cho phép nó triển khai hệ thống chứng minh hiệu quả trên miền nhị phân, giảm bớt chi phí thường liên quan đến miền lớn.

2.1 miền hữu hạn: toán học dựa trên towers of binary fields

Trường nhị phân tháp là chìa khóa để thực hiện tính toán có thể xác minh nhanh chóng, chủ yếu do hai yếu tố: tính toán hiệu quả và số học hiệu quả. Trường nhị phân về bản chất hỗ trợ các phép toán số học cực kỳ hiệu quả, làm cho nó trở thành lựa chọn lý tưởng cho các ứng dụng mật mã nhạy cảm với yêu cầu hiệu suất. Hơn nữa, cấu trúc trường nhị phân hỗ trợ quy trình số học đơn giản hóa, tức là các phép toán thực hiện trên trường nhị phân có thể được biểu diễn dưới dạng đại số gọn gàng và dễ xác minh. Những đặc tính này, cộng với khả năng tận dụng đầy đủ các đặc điểm phân cấp của nó thông qua cấu trúc tháp, khiến trường nhị phân đặc biệt phù hợp với các hệ thống chứng minh mở rộng như Binius.

Trong đó, "canonical" đề cập đến cách biểu diễn duy nhất và trực tiếp của các phần tử trong miền nhị phân. Ví dụ, trong miền nhị phân cơ bản F2, bất kỳ chuỗi k bit nào cũng có thể được ánh xạ trực tiếp đến một phần tử miền nhị phân k bit. Điều này khác với miền số nguyên tố, vì miền số nguyên tố không thể cung cấp cách biểu diễn chuẩn như vậy trong một số bit nhất định. Mặc dù miền số nguyên tố 32 bit có thể chứa trong 32 bit, nhưng không phải mọi chuỗi 32 bit đều có thể tương ứng duy nhất với một phần tử miền, trong khi miền nhị phân lại có sự tiện lợi của ánh xạ một-một này. Trong miền số nguyên tố Fp, các phương pháp quy chuẩn phổ biến bao gồm quy chuẩn Barrett, quy chuẩn Montgomery, và các phương pháp quy chuẩn đặc biệt cho các miền hữu hạn cụ thể như Mersenne-31 hoặc Goldilocks-64. Trong miền nhị phân F2k, các phương pháp quy chuẩn thường được sử dụng bao gồm quy chuẩn đặc biệt (như sử dụng trong AES), quy chuẩn Montgomery (như sử dụng trong POLYVAL) và quy chuẩn đệ quy (như Tower). Bài báo "Khám Phá Không Gian Thiết Kế Của ECC-Hardware Thực Hiện Miền Số Nguyên Tố So Với Miền Nhị Phân" chỉ ra rằng miền nhị phân không cần phải thêm vào khi thực hiện phép cộng và phép nhân, và phép bình phương trong miền nhị phân rất hiệu quả, vì nó tuân theo quy tắc đơn giản (X + Y )2 = X2 + Y2.

Như hình 1 cho thấy, một chuỗi 128 bit: chuỗi này có thể được giải thích theo nhiều cách trong ngữ cảnh của miền nhị phân. Nó có thể được coi là một phần tử duy nhất trong miền nhị phân 128 bit, hoặc được phân tích thành hai phần tử miền tháp 64 bit, bốn phần tử miền tháp 32 bit, mười sáu phần tử miền tháp 8 bit, hoặc 128 phần tử miền F2. Tính linh hoạt của biểu diễn này không cần bất kỳ chi phí tính toán nào, chỉ đơn giản là chuyển đổi kiểu (typecast) của chuỗi bit, là một thuộc tính rất thú vị và hữu ích. Đồng thời, các phần tử miền nhỏ có thể được đóng gói thành các phần tử miền lớn hơn mà không cần chi phí tính toán bổ sung. Giao thức Binius đã tận dụng đặc điểm này để nâng cao hiệu quả tính toán. Hơn nữa, tài liệu "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" đã khám phá độ phức tạp tính toán của phép nhân, bình phương và phép đảo ngược trong miền nhị phân tháp n bit (có thể phân tách thành miền con m bit).

2.2 PIOP: Phiên bản chỉnh sửa sản phẩm HyperPlonk và PermutationCheck------Áp dụng cho trường nhị phân

Thiết kế PIOP trong giao thức Binius đã tham khảo HyperPlonk, sử dụng một loạt các cơ chế kiểm tra cốt lõi để xác minh tính chính xác của đa thức và tập hợp nhiều biến. Các kiểm tra cốt lõi này bao gồm:

1. GateCheck: Xác minh chứng nhận bảo mật ω và đầu vào công khai x có thỏa mãn mối quan hệ toán tử của mạch C(x,ω)=0, để đảm bảo mạch hoạt động chính xác.

2. PermutationCheck: Xác minh xem kết quả đánh giá của hai đa thức nhiều biến f và g trên hypercube Boolean có phải là quan hệ hoán vị f(x) = f(π(x)) hay không, để đảm bảo tính nhất quán của sự sắp xếp giữa các biến đa thức.

3. LookupCheck: Xác minh xem giá trị của đa thức có nằm trong bảng tra cứu đã cho hay không, tức là f(Bµ) ⊆ T(Bµ), đảm bảo một số giá trị nằm trong khoảng đã chỉ định.

4. MultisetCheck: Kiểm tra xem hai tập hợp đa biến có bằng nhau hay không, tức là {(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H, đảm bảo tính nhất quán giữa nhiều tập hợp.

5. ProductCheck: Kiểm tra xem giá trị của đa thức có lý tại siêu khối Boolean có bằng một giá trị được tuyên bố nào đó ∏x∈Hµ f(x) = s, để đảm bảo tính chính xác của tích đa thức.

6. ZeroCheck: Xác minh một đa thức nhiều biến có phải là không tại bất kỳ điểm nào trên khối siêu Boolean ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, để đảm bảo phân phối các điểm không của đa thức.

7. SumCheck: Kiểm tra xem tổng của đa thức nhiều biến có bằng với giá trị đã tuyên bố hay không ∑x∈Hµ f(x) = s. Bằng cách chuyển đổi vấn đề đánh giá đa thức nhiều biến thành việc đánh giá đa thức một biến, giảm độ phức tạp tính toán của bên xác minh. Ngoài ra, SumCheck còn cho phép xử lý hàng loạt bằng cách đưa vào số ngẫu nhiên, xây dựng tổ hợp tuyến tính để thực hiện xử lý hàng loạt nhiều trường hợp kiểm tra tổng.

8. BatchCheck: Dựa trên SumCheck, xác minh độ chính xác của việc đánh giá nhiều đa thức đa biến để nâng cao hiệu quả của giao thức.

Mặc dù Binius và HyperPlonk có nhiều điểm tương đồng trong thiết kế giao thức, nhưng Binius đã cải thiện ở 3 khía cạnh sau:

• Tối ưu hóa ProductCheck: Trong HyperPlonk, ProductCheck yêu cầu mẫu số U luôn khác không trên hypercube và tích phải bằng một giá trị cụ thể; Binius đã đơn giản hóa quy trình kiểm tra này bằng cách đặc hóa giá trị đó thành 1, từ đó giảm độ phức tạp tính toán.

• Xử lý vấn đề chia cho không: HyperPlonk không thể xử lý đầy đủ các trường hợp chia cho không, dẫn đến việc không thể khẳng định rằng U là khác không trên siêu lập phương; Binius đã xử lý đúng vấn đề này, ngay cả khi mẫu số là không, ProductCheck của Binius vẫn có thể tiếp tục xử lý, cho phép mở rộng đến bất kỳ giá trị tích nào.

• Kiểm tra hoán vị giữa các cột: HyperPlonk không hỗ trợ tính năng này; Binius hỗ trợ kiểm tra hoán vị giữa nhiều cột, điều này giúp Binius có khả năng xử lý các trường hợp sắp xếp đa thức phức tạp hơn.

Do đó, Binius đã cải thiện cơ chế PIOPSumCheck hiện có, nâng cao tính linh hoạt và hiệu quả của giao thức, đặc biệt trong việc xử lý các xác minh đa thức đa biến phức tạp hơn, cung cấp hỗ trợ chức năng mạnh mẽ hơn. Những cải tiến này không chỉ giải quyết những hạn chế trong HyperPlonk, mà còn đặt nền tảng cho các hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân trong tương lai.

2.3 PIOP：tham số dịch đa tuyến mới------ứng dụng cho hypercube boolean

Trong giao thức Binius, việc xây dựng và xử lý đa thức ảo là một trong những công nghệ then chốt, có khả năng tạo ra và thao tác hiệu quả các đa thức được sinh ra từ tay cầm đầu vào hoặc các đa thức ảo khác. Dưới đây là hai phương pháp chính:

• Đóng gói：Phương pháp này tối ưu hóa hoạt động bằng cách đóng gói các phần tử nhỏ hơn ở vị trí liền kề trong thứ tự từ điển thành các phần tử lớn hơn. Toán tử Pack nhắm đến các khối có kích thước 2κ và nhóm chúng lại.